已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中,向量
j
=(0,1),△OFP的面積為2
3
,且
OF
FP
=t,
OM
=
3
3
OP
+
j

(I)設(shè)4<t<4
3
,求向量
OF
FP
的夾角θ
的取值范圍;
(II)設(shè)以原點O為中心,對稱軸在坐標(biāo)軸上,以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M,且|
OF
|=c,t=(
3
-1)c2,當(dāng)|
OP
|
取最小值時,求橢圓的方程.
分析:(1)由2
3
=
1
2
|
OF
|
•|FP|•sinθ,得|
OF
|•|
FP
|
=
4
3
sinθ
,由cosθ=
OF
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
,得tanθ=
4
3
t
.
由此可求出夾角θ的取值范圍.
(2)設(shè)P(x0y0),則
FP
(x0-c,y0),
OF
=(c,0).
由題設(shè)條件導(dǎo)出|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)
2
+(
4
3
c
)
2
2
3
c•
4
3
c
=2
6
,由此可求出橢圓的方程.
解答:解:(1)由2
3
=
1
2
|
OF
|
•|FP|•sinθ,得|
OF
|•|
FP
|
=
4
3
sinθ
,
由cosθ=
OF
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
,得tanθ=
4
3
t
.

4<t<4
3
∴1<tanθ<
3
∵θ∈[0,π]

∴夾角θ的取值范圍是(
π
4
π
3

(2)設(shè)P(x0,y0),則
FP
(x0-c,y0),
OF
=(c,0).
OF
FP
=(x0-c,y0)•(c,0)=(x0-c)c=t=(
3
-1)c2x0=
3
c

S△OFP=
1
2
|
OF
|•|y0|=2
3
y0
4
3
c

|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)
2
+(
4
3
c
)
2
2
3
c•
4
3
c
=2
6

∴當(dāng)且僅當(dāng)
3
c=
4
3
c
,即c=2時,|
OP
|取最小值2
6
,此時,
OP
=(2
3
,±2
3
)

OM
=
3
3
(2
3
,2
3
)+(0,1)=(2,3)

OM
=
3
3
(2
3
,-2
3
)+(0,1)=(2,-1)

橢圓長軸2a=
(2-2)2+(3-0)2
+
(2+2)2+(3-0)2
=8∴a=4,b2=12

2a=
(2-2)2+(-1-0)2
+
(2+2)2+(-1-0)2
=1+
17
∴a=
1+
17
2
b2=
1+
17
2

故所求橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1

x2
9+
17
2
+
y2
1+
17
2
=1
點評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),點P(x,y)在曲線C:
x=1+cosθ
y=sinθ
為參數(shù),θ∈R)上運動.以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0

(Ⅰ)寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,點M在曲線C上移動,試求△ABM面積的最大值,并求此時M點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,且過點D(2,0).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點A(1,
1
2
)
,若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中,圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
,(θ為參數(shù)),以ox為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
6
)
=0,則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(1,-2),B(1,1),C(2,-1),動點M(x,y)滿足條件
-2≤
OM
OA
≤2
1≤
OM
OB
≤2
,則z=
OM
OC
的最大值為(  )
A、-1B、0C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,右頂點為D(2,0),設(shè)點A(1,
1
2
)

(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;
(Ⅲ)是否存在直線l,滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C,使得△ABC面積為1?如果存在,寫出l的方程;如果不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案