Question

在直角坐標系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ）
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2θ的值；
（2）

AC

與

BC

能否共線？說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件求出

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，由

AC

⊥

BC

，得

AC

•

BC

=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，由此能求出sin2θ=-

5

9

．
（2）若

AC

與

BC

共線，則

2cosθ-3

2cosθ

=

2sinθ

2sinθ-3

，從而得sinθ+cosθ=

3

2

不成立，故

AC

與

BC

不能共線．

解答： 解：（1）∵在直角坐標系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ），
∴

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，
∵

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，
∴

AC

•

BC

=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，
∴4cos²θ-6cosθ+4sin²θ-6sinθ=4-6（cosθ+sinθ）=0，
∴sinθ+cosθ=

2

3

，
∴1+2sinθcosθ=

4

9

，
∴sin2θ=-

5

9

．
（2）∵

AC

=(2cosθ-3，2sinθ)，

BC

=(2cosθ，2sinθ-3)，
∴若

AC

與

BC

共線，則

2cosθ-3

2cosθ

=

2sinθ

2sinθ-3

，
∴4sinθcosθ=4sinθcosθ-6cosθ-6sinθ+9，
∴sinθ+cosθ=

3

2

，
∵sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
∴sinθ+cosθ=

3

2

不成立，
∴

AC

與

BC

不能共線．

點評：本題考查向量垂直和向量共線的條件的應(yīng)用，是中檔題，解題題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．