Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為A的正方體．
（1）求點(diǎn)D到平面CB₁D₁的距離．
（2）求直線C₁B₁與平面CB₁D₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：點(diǎn)D到平面CB₁D₁的距離等于C₁到平面CB₁D₁的距離，再結(jié)合

VC1-D1B1C=VD1-B1C1C，

進(jìn)而求出答案．
（2）設(shè)C₁在平面CB₁D₁內(nèi)射影為O，連接B₁O，則∠C₁B₁O即為直線C₁B₁與平面CB₁D₁所成的角，再根據(jù)三角形的性質(zhì)可得B₁O=

3

3

×

2

a=

6

3

a，進(jìn)而求出線面角的余弦值．

解答：解：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可得：點(diǎn)D到平面CB₁D₁的距離等于C₁到平面CB₁D₁的距離，
因?yàn)?span id="lxfrlef" class="MathJye">

VC1-D1B1C=VD1-B1C1C，

所以

1

3

×

3

2

a2×h=

1

3

×

1

2

a2×a
所以h=

3

3

a------（5分）
所以點(diǎn)D到平面CB₁D₁的距離為

3

3

a．
（2）設(shè)C₁在平面CB₁D₁內(nèi)射影為O，連接B₁O，
則∠C₁B₁O即為直線C₁B₁與平面CB₁D₁所成的角．
因?yàn)椤鰿B₁D₁的是邊長為

2

a的等邊三角形，
所以B₁O=

3

3

×

2

a=

6

3

a，
所以cos∠C1B1O=

3 3 a

6 3 a

=

2

2

所以直線C₁B₁與平面CB₁D₁所成的角為45°．------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系以及點(diǎn)到平面的距離，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．