Question

已知函數(shù)，a＞0，
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a=3，求f（x）在區(qū)間[1，e²]上值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得，令得f′（x）=2t²-at+1（t≠0），再進(jìn)行分類討論：當(dāng)△=a²-8≤0，f′（x）≥0恒成立；當(dāng)△=a²-8＞0，即時，根據(jù)2t²-at+1＞0，及2t²-at+1＜0，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=3時，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)，從而可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值．
解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得
令得f′（x）=2t²-at+1（t≠0）
當(dāng)△=a²-8≤0，即時，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；
當(dāng)△=a²-8＞0，即時，
由2t²-at+1＞0得或
∴x＜0或或
又由2t²-at+1＜0得，∴
綜上 當(dāng)f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；當(dāng)f（x）在及上都是增函數(shù)，在是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a=3時，由（1）知，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，e²]上是增函數(shù)．
又
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域為．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．