已知在函數(shù)f（x）=mx3﹣x的圖象上以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）k﹣1995對(duì)于x[﹣1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由．
解：（1）f'（x）=3mx2﹣1，
依題意，得，
即1=3m﹣1，
，
把N（1，n）代得，得，

（2）令，則，
當(dāng)時(shí)，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此區(qū)間為增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，f'（x）=2x2﹣1＜0，f（x）在此區(qū)間為減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，f'（x）=2x2﹣1＞0，f（x）在此區(qū)間為增函數(shù)處取得極大值
又因此，當(dāng)，要使得不等式f（x）k﹣1995對(duì)于x[﹣1，3]恒成立，則k15+1995=2010
所以，存在最小的正整數(shù)k=2010，使得不等式f（x）k﹣1992對(duì)于x[﹣1，3]恒成立．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在函數(shù)f（x）y=
3
sin
πx
R
圖象上，相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在圓x2+y2=R2上，則f（x）的最小正周期為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在函數(shù)f（x）=mx3-x的圖象上以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為
π4
．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1995對(duì)于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知在函數(shù)f（X）的圖象上的三點(diǎn)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為-1，1，5，求sin∠MNP的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在函數(shù)f（x）=mx3-x的圖象上以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為
π4

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三個(gè)不同實(shí)根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-2011，對(duì)x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•東城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知在函數(shù)f（x）的圖象上的三點(diǎn)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為-1，1，5，求sin∠MNP的值．

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