Question

已知兩點(diǎn)M和N分別在直線y=mx和y=-mx（m＞0）上運(yùn)動(dòng)，且|MN|=2，動(dòng)點(diǎn)p滿足：2

OP

=

OM

+

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（I）求曲線C的方程，并討論曲線C的類型；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于任意m＞1，都有∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可判斷出P是MN的中點(diǎn)．設(shè)出P，M，N的坐標(biāo)，根據(jù)題意聯(lián)立方程求得

x2 1

m2

 +

y2

m2

=1，然后對(duì)m＞1，o＜m＜1和m=1對(duì)方程表示出曲線進(jìn)行分類討論．
（II）設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用直線方程表示出y₁y₂，要使∠AOB為銳角，需

OA

•

OB

＞0，利用向量的基本運(yùn)算整理得m2+

1

m2

＞ K2 +1，利用基本不等式求得m2+

1

m2

＞2進(jìn)而求得k的范圍．

解答：解：（I）由2

op

=

OM

+

ON

，得P是MN的中點(diǎn)．
設(shè)P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂）依題意得：

x1+x2 =2x mx1-mx2=2y  (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4

消去x₁，x₂，整理得

x2

1 m2

+

y2

m2

=1．
當(dāng)m＞1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)o＜m＜1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m=1時(shí)，方程表示圓．
（II）由m＞1，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，直線l與曲線c恒有兩交點(diǎn)，
因?yàn)橹本�斜率不存在時(shí)不符合題意，
可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

y=kx+1 x2 1 m2 + y2 m2 =1

?（m⁴+k²）x²+2kx+1-m²=0
x1+x2 =-

2k

m4+k2

，x1x2=-

1-m2

m4+k2

y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=

k2(1-m2)

m4+k2

+

2k2

m4+k2

+1
要使∠AOB為銳角，則有

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=

m4-(k2+1)m2+1

m4+k2

＞0
即m⁴-（k²+1）m²+1＞0，
可得m2+

1

m2

＞ K2 +1，對(duì)于任意m＞1恒成立．
而m2+

1

m2

＞2，∴K²+1≤2，-1≤k≤1
所以滿足條件的k的取值范圍是[-1.1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生知識(shí)的綜合運(yùn)用和分析問題的能力．