Question

給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f(x)=sinx+2xf′(

π

3

)，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令a=log₃2，b=

1

2

，則f（a）＜f（b）
②若f(x+2)+

1

f(x)

=0，則函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
③在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
④函數(shù)y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2．
則正確命題的序號(hào)是

①②

．

Answer 1

分析：①先求f′（

π

3

）的值，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可；②利用已知抽象表達(dá)式證明f（x+4）=f（x）即可；③利用遞推關(guān)系式計(jì)算數(shù)列的前三項(xiàng)，即可發(fā)現(xiàn)此命題錯(cuò)誤；④利用均值定理求函數(shù)最值要注意條件即“一正二定三等號(hào)”是否成立

解答：解：①∵f′(x)=cosx+2f′(

π

3

)，∴f′(

π

3

)=cos

π

3

+2 f′(

π

3

)，∴f′（

π

3

）=-

1

2

，
∴f′（x）=cosx-1≤0，∴函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，
∵a=log₃2，b=

1

2

=log₃

3

，∴a＞b
∴f（a）＜f（b），①正確
②∵f(x+2)=-

1

f(x)

，∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；②正確；
③∵a₁=1，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，∴a₂=

3

2

，a₃=

3

4

，顯然此數(shù)列的前三項(xiàng)不成等比數(shù)列，③錯(cuò)誤；
④y=3^x+3^-x=y=3^x+

1

3x

≥2

3x× 1 3x

=2，（當(dāng)且僅當(dāng)3^x=1，即x=0時(shí)取等號(hào)），故x＜0時(shí)，y=3^x+3^-x無最小值為，④錯(cuò)誤
故答案為①②

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，利用單調(diào)性比較大小的方法，函數(shù)周期性得到定義及其證明，數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用及等比數(shù)列的定義，均值定理求最值的方法和條件等知識(shí)，有一定難度