Question

已知函數(shù)f（x）=

4x+1

4x-1

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）用定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）給定的函數(shù)為分式函數(shù)，只需要分母不為零，求解自變量x的取值范圍即可；（Ⅱ）借助于函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)已知得f(x)=1+

2

4x-1

，即4^x-1≠0，
即4^x≠1，解得x≠0，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
設(shè)y=f（x），則y-1=

2

4x-1

，4x=1+

2

y-1

，
因為4^x＞0，解得1+

2

y-1

＞0，
解得函數(shù)的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
（Ⅱ）設(shè)任意x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

4x1-1

-

2

4x2-1

=

2(4x2-4x1)

(4x1-1)(4x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），
∴4x1-1＞0，4x2-1＞0，
又∵x₁＜x₂，4x2-4x1＞0，
∴f（x₁）-f（x_2）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題重點考查函數(shù)的定義域和值域的求解方法、函數(shù)單調(diào)性的概念和證明過程，證明步驟，屬于中檔題目，難度中等．