Question

已知一四棱錐P-ABCD的三視圖，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E點(diǎn)分PC為PE：EC=2：1，求點(diǎn)P到平面BDE的距離；
（3）若E點(diǎn)為PC的中點(diǎn)，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，以及位置關(guān)系，直接求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）利用等體積法，即V_B-DEP=V_P-BDE，求出三棱錐B-DEP的體積和△BDE的面積，即可求得結(jié)果；
（3）點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連接BF，說明∠DFB為二面角D-AE-B的平面角，解三角形DFB，求二面角D-AE-B的大�。�

解答：解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
即四棱錐P-ABCD的體積為

2

3

．
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴VP-ABCD=

1

3

S正方形ABCD•PC=

1

3

×12×2=

2

3

，
（2）設(shè)點(diǎn)P到平面BDE的距離為h，
則V_B-DEP=V_P-BDE，而V_B-DEP=

1

3

×S△DPE×BC=

1

3

×

1

2

×1×

4

3

×1=

2

9

，
S△BDE=

1

2

×

( 2 2 )2+( 2 3 )2

×

2

=

17

3

，
∴h=

2 17

17

；
（3）：在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連接BF．
∵AD=AB=1，DE=BE=

12+12

=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADE中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=BF，
又 BD=

2

，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB=

DF2+BF2-BD2

2DF•BF

=

2× 2 3 -2

2× 2 3

=-

1

2

，
∴∠DGB=120°，即二面角D-AE-B的大小為120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求面積、體積，二面角及其度量，考查知識(shí)的靈活運(yùn)用能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．