Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²﹣1．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的最值；
（2）對(duì)于一切正數(shù)x，恒有f（x）≤k（x²﹣1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值組成的集合．

Answer 1

解：（1）
求導(dǎo)函數(shù)可得，
所以函數(shù)h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
所以h（x）的最大值為h（1）=0．
（2）令函數(shù)F（x）=lnx﹣k（x²﹣1）得

當(dāng)k≤0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）遞增，故x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0）=0不滿足題意．
當(dāng)k＞0時(shí)，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0恒成立，函數(shù)F（x）遞增；
當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0恒成立，函數(shù)F（x）遞減．
所以；
即 F（x）的最大值．
令，則．
令函數(shù)，

所以當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，函數(shù)H（t）遞減；
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)H（x）遞增；
所以函數(shù)H（t）≥H（1）=0，從而，
∴就必須當(dāng)，即時(shí)成立．
綜上．