曲線在矩陣
的變換作用下得到曲線
.
(Ⅰ)求矩陣;
(Ⅱ)求矩陣的特征值及對應(yīng)的一個特征向量.
(Ⅰ)矩陣;(Ⅱ)矩陣
的特征值
或
.當(dāng)
時,對應(yīng)的特征向量為
;當(dāng)
時,對應(yīng)的特征向量為
.
解析試題分析:(Ⅰ)首先設(shè)曲線上的任一點(diǎn)
在矩陣
對應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為
,則由
可得
再由點(diǎn)
在曲線
上,把
代入
求得
的值,即可得矩陣
;(Ⅱ)由
,可得矩陣
的特征值,根據(jù)特征向量的求法,分別列出方程組,即可求得其對應(yīng)的特征向量.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)曲線上的任一點(diǎn)
在矩陣
對應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為
,則
由點(diǎn)
在曲線
上,得
,
再由
,解得
.3分
(Ⅱ)由,解得:
或
. 5分
當(dāng)時,由
得對應(yīng)的特征向量為
;當(dāng)
時,由
得對應(yīng)的特征向量為
.7分
考點(diǎn):1.矩陣與變換;2.矩陣的特征值及對應(yīng)的一個特征向量的計(jì)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),其準(zhǔn)線
與x軸交于K點(diǎn).
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓
有公共焦點(diǎn)
,且橢圓過點(diǎn)
.
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、
是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)
為右頂點(diǎn),記過點(diǎn)
、
、
的圓為⊙
,過點(diǎn)
作⊙
的切線
,求直線
的方程;
(3)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、
,試問直線
是否經(jīng)過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:
的離心率為
,以橢圓
的左頂點(diǎn)
為圓心作圓
:
,設(shè)圓
與橢圓
交于點(diǎn)
與點(diǎn)
.(12分)
(1)求橢圓的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此時圓
的方程;(4分)
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓
上異于
,
的任意一點(diǎn),且直線
分別與
軸交于點(diǎn)
,
為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:
為定值.(5分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)
到直線
的距離為
.設(shè)
為直線
上的點(diǎn),過點(diǎn)
作拋物線
的兩條切線
,其中
為切點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為直線
上的定點(diǎn)時,求直線
的方程;
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在直線
上移動時,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
,以
為圓心的圓
與
相切于點(diǎn)
,
的縱坐標(biāo)為
,
是圓
與
軸除
外的另一個交點(diǎn).
(I)求拋物線與圓
的方程;
(II)過且斜率為
的直線
與
交于
兩點(diǎn),求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓,圓
,動圓
與已知兩圓都外切.
(1)求動圓的圓心的軌跡
的方程;
(2)直線與點(diǎn)
的軌跡
交于不同的兩點(diǎn)
、
,
的中垂線與
軸交于點(diǎn)
,求點(diǎn)
的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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