Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*），
∴當(dāng)n≥2時，2a_n=2a_n-1+1，
可得．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）證明：∵{a_n}為等差數(shù)列，公差，
∴（5分）
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴，
∴
=
=
=（8分）
又，
∴對n∈N*，b_n-a_n≠0，得．
∴數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為公比為等比數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，
∴．（11分）
∵，
∴，
∴．
∴．（14分）
分析：本題考查等差等比數(shù)列的證明、a_n與s_n的關(guān)系的研究、求通項(xiàng)公式和求前n項(xiàng)和公式，
（Ⅰ）根據(jù)2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．可以獲得使問題得證．
（Ⅱ）根據(jù)所證，構(gòu)造數(shù)列{b_n-a_n}，通過計算得，又，所以數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列得證．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎(chǔ)上可以得到數(shù)列{b_n-a_n}的通項(xiàng)公式，又根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求，所以數(shù)列{b_n}可求，進(jìn)而可以求得前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評：本題綜合性強(qiáng)，過程多，運(yùn)算量大，解題過程需要思路清晰，運(yùn)算準(zhǔn)確，尤其是在（Ⅰ）、（Ⅱ）的證明中，不可忽視n=1的情況，必須將其作為過程中的一部分；
在（Ⅲ）的求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和時，盡管數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式已求出，可以直接求其和，但需要拆項(xiàng)分組求和，較為繁瑣，給出的解法以求出數(shù)列{b_n-a_n}、數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上再求，顯得運(yùn)算簡便，值得借鑒．