（09年通州調(diào)研四）（14分）在正方體ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、A1D1、C1D1的中點（如圖）。

（1）求證：B1G⊥CF；

（2）若P是A1B1上的一點，BP∥平面ECF，求A1P∶A1B1的值。

解析：（1）證明：連C1F，

∵A1B1C1D1是正方形，F、G分別是A1D1、C1D1的中點

∴C1F⊥B1G

∵ABCD―A1B1C1D1是正方體

∴CC1⊥B1G

∵C1F ∩CC1=C1

∴B1G⊥平面CC1F

而CF是平面CC1F內(nèi)的直線

∴B1G⊥CF

（2）解：延長CE與DA延長線相交于M，連FM與AA1相交于點Q，連EQ，過B點作BP∥EQ與A1B1的交點即為所求的點P。

∵CE延長線與DA延長線相交于M

∴M平面CEF中的點，FM平面CEF，EQ平面CEF

∵BP∥EQ

∴BP∥平面ECF，且P在A1B1上即為所求。

∵E是AB的中點，AB∥CD

∴AE∥CD，且等于CD的一半

∴A是DM的中點

過F作AD的垂線，垂足是AD的中點記為F1,

FF1∶AQ=F1M∶AM=,QA=AA1

∵BP∥EQ

∴△AEQ∽△B1PB

AE∶AQ=B1P∶B1B=∶=3∶4

∴A1P∶A1B1=

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