Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、O分別是AA₁，CC₁，BD的中點，
（1）求異面直線D₁E與BB₁所成的角的余弦值；
（2）求證：BD⊥平面A₁OF．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將BB₁平移到AA₁，使兩條異面直線移到同一點，得到AA₁與D₁E所成角∠A₁ED₁等于D₁E與BB₁所成的角，最后在Rt△A₁ED₁中利用余弦定理求之即可．
（2）欲證BD⊥平面A₁OF，連接A₁B，A₁D，OF，即要證：A₁O⊥BD，及OF⊥BD，而A₁O∩OF=O，由線面垂直的判定定理即得BD⊥平面A₁OF．
解答：解：（1）設正方體的棱長為2
∵BB₁∥AA₁，∴AA₁與D₁E所成角∠A₁ED₁等于
D₁E與BB₁所成的角
在Rt△A₁ED₁中，
（2）連接A₁B，A₁D，OF，∵△A₁AD≌△A₁AB，∴A₁D=A₁B∴△A₁BD是等腰三角形，
又∵O是BD的中點，∴A₁O⊥BD
同理得OF⊥BD，而A₁O∩OF=O
所以BD⊥平面A₁OF．
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角、直線與平面垂直的判定，平移法是研究異面直線所成的角的最常用的方法，屬于基礎題．