Question

已知A是曲線C₁：y=

a

x-2

 （a＞0）與曲線C₂：x²+y²=5的一個公共點．若C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，則實數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出兩曲線的交點A的坐標(biāo)，代入兩曲線解析式，分別記作①和②，由曲線C₁的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，把點A的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為曲線C₁在A處的切線的斜率，進而表示出C₁在A處的切線方程，由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，得到求出的切線方程過曲線C₂的圓心（0，0），把圓心坐標(biāo)代入切線方程得到一個關(guān)系式，記作③，聯(lián)立①②③，即可求出a的值．

解答：解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（x₀，y₀），代入兩曲線方程得：
y₀=

a

x0-2

①，x₀²+y₀²=5②，
由曲線C₁：y=

a

x-2

得：y′=-

a

(x-2)2

，
則曲線C₁在A處的切線的斜率k=-

a

(x0-2)2

，
所以C₁在A處的切線方程為：y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀，
由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，
得到切線方程y=-

a

(x0-2)2

（x-x₀）+y₀過圓C₂的圓心（0，0），
則有-

a

(x0-2)2

（0-x₀）+y₀=0，即y₀=-

ax0

(x0-2)2

③，
把③代入①得：

a

x0-2

=-

a

(x0-2)2

x₀從而x0=1再代入①得：y₀=-a；代入②，
得：1+a²=5（a＞0）．
則a=2（-2舍去）．
故實數(shù)a的值為2．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，掌握圓切線垂直于過切點的直徑的性質(zhì)，是一道中檔題．