Question

19．已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．

（1）證明平面；

（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．

Answer 1

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力.

 （Ⅰ）證明：E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn).

∴EB∥FD，且EB=FD.

∴四邊形EBFD是平行四邊形，

∴BF∥ED.

∵ED平面AED.而BF平面AED，

∴BF∥平面AED.

（Ⅱ）解法一：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連結(jié)GC，GD.

∵△ACD為正三角形，

∴AC=AD.

∴GC=GD.

∴G在CD的垂直平分線上.

又∵EF是CD的垂直平分線，

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.過(guò)G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，即AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，連結(jié)AF.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF，

∴AG=a.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.

解法二：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′.

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF，

∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，

∴AG′⊥平面BCDE，

∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=a，

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.

解法三：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′.

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD中點(diǎn).

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD.

∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE，

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF，

∴AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G，

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)G作GH⊥DE，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a.

在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，

∴△AEF為直角三角形，AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，

∴AH=，

∴GH=，

∴cosθ=.