Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞2x+m在區(qū)間，[-1，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=1，可設f（x）=ax²+bx+1（a≠0），代入f（x+1）-f（x）=2x，根據(jù)系數(shù)對應相等可求a，b進而可求f（x）
（2）由題意得，x²-x+1＞2x+m，即x²-3x+1＞m 對x∈[-1，1]恒成立，令g（x）=x²-3x+1，根據(jù)g（x）在[-1，1]上的單調性可求g（x）_min，可求m的范圍

解答：解：（1）由f（0）=1，可設f（x）=ax²+bx+1（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b
由題意得，

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

；
故f（x）=x²-x+1
（2）由題意得，x²-x+1＞2x+m
 即x²-3x+1＞m 對x∈[-1，1]恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，又g（x）在[-1，1]上遞減，故g（x）_min=g（1）=-1
故m＜-1

點評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的函數(shù)解析式、函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉化，以及單調性在函數(shù)的最值求解中的應用．