Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項和，已知a₂a₄=1，S₃=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

1

8

a_nlog₂a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求T_n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

a1q•a1q3=1 a1(1-q3) 1-q =7

，且q＞0，由此能求出a_n=2^3-n．
（2）由b_n=

1

8

a_nlog₂a_n=

1

8

×23-n×(3-n)=

3-n

2n

，利用分組求和法和錯位相減法能求出T_n的值．

解答： 解：（1）∵正項等比數(shù)列{a_n}中，a₂a₄=1，S₃=7，
∴

a1q•a1q3=1 a1(1-q3) 1-q =7

，且q＞0，
解得q=

1

2

，a₁=4，
∴a_n=a1qn-1=4×（

1

2

）^n-1=2^3-n．
（2）b_n=

1

8

a_nlog₂a_n=

1

8

×23-n×(3-n)=

3-n

2n

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=3（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-（

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

）
=3×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-（

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

）
設S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n-1

=1-

2n+1

2n

．
∴S_n=2-

4n+2

2n

．
∴T_n=1-

1

2n

-2+

4n+2

2n

=

4n+1

2n

-1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法和錯位相減法的合理運用．