Question

已知函數(shù)f(x)=sinx+bcos2

x

2

，b為常數(shù)，b∈R，且x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）先將x=

π

2

代入函數(shù)f（x）解出b的值，再將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可得答案．
（2）先根據(jù)x的范圍求出x-

π

4

的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得到答案．

解答：解：（I）f(

π

2

)=sin

π

2

+bcos2

π

4

=0，
則1+

1

2

b=0，解得b=-2；
所以f(x)=sinx-2cos2

x

2

=sinx-cosx-1，
則f(x)=

2

sin(x-

π

4

)-1．
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．
（I）由x∈[0，π]，得x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
則sin(x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
則

2

sin(x-

π

4

)∈[-1，

2

]，

2

sin(x-

π

4

)-1∈[-2，

2

-1]，
所以y=f（x）值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-2，

2

-1]．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的最小正周期和值域的求法，一般先將函數(shù)化簡為y=Asin（wx+ρ）的形式，再解題．