Question

若向量，，k，t為正實(shí)數(shù)．且=+，，
（1）若，求k的最大值；
（2）是否存在k，t，使？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)向量的計(jì)算公式求出；
（1）直接代入向量垂直的結(jié)論：，，⇒x₁x₂+y₁y₂=0．即可求出k和t之間的關(guān)系，進(jìn)而求出k的最大值；
（2）直接代入向量共線的結(jié)論：，，⇒x₁y₂-x₂y₁=0．即可求出k和t之間的關(guān)系，再結(jié)合原題中k，t為正實(shí)數(shù)即可求出結(jié)論．
解答：解：由已知可得=（1，2）+（t²+1）（-2，1）=（-2t²-1，t²+3），
=-（1，2）+（-2，1）
=（-，-）
（1）若，則，即（-2t²-1）（-）+（t²+3）（-）=0，
整理得，k==≤=，（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=1時(shí)取等號，
∴k_max=．（7分）
（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)k，t，使，
則（-2t²-1）（-）-（t²+3）（-）=0．
化簡得+=0，即t³+t+k=0．（11分）
又∵k，t是正實(shí)數(shù)，故滿足上式的k，t不存在，
∴不存在k，t，使．（14分）
點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系以及平行關(guān)系，考查計(jì)算能力．如果，則，⇒x₁x₂+y₁y₂=0；⇒x₁y₂-x₂y₁=0．