Question

右圖是一個(gè)直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

   （1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

   （2）求二面角B―AC―A₁的大��；

   （3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，過(guò)作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因?yàn)?sub>面，所以，則平面．

又因?yàn)?sub>，，．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因?yàn)?sub>，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

（3）因?yàn)?sub>，所以=

．

所求幾何體體積為

．

解法二：

（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，所以，

．

易知，是平面的一個(gè)法向量．

因?yàn)?sub>，平面，所以平面．

（2），，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

則得：  

取，．

顯然，為平面的一個(gè)法向量．

則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．