Question

8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐A-A₁EC的體積；
（2）求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三棱錐體積公式求解即可．
（2）延長(zhǎng)DC至G，使CG=DC，連結(jié)BG、D₁G，說明∠D₁BG就是異面直線BD₁與CE所成的角．在△D₁BG中，利用余弦定理求解異面直線BD₁與CE所成角的余弦值即可．

解答 解：（1）由三棱錐體積公式可得：$V=\frac{1}{3}A{A_1}•{S_{△ACE}}$=$\frac{1}{3}•1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{12}$．
（2）延長(zhǎng)DC至G，使CG=$\frac{1}{2}$DC，連結(jié)BG、D₁G
∵$CG\stackrel{∥}{=}EB$，∴四邊形EBGC是平行四邊形．
∴BG∥EC．∴∠D₁BG就是異面直線BD₁與CE所成的角．
在△D₁BG中，D₁B=$\sqrt{3}$，BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，D₁G=$\sqrt{{1}^{2}+（{\frac{3}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴cos∠D₁BG=$\frac{{D}_{1}{B}^{2}+{BG}^{2}-{D}_{1}{G}^{2}}{2{D}_{1}B•BG}$=$\frac{3+\frac{5}{4}-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$
即異面直線BD₁與CE所成角的余弦值是：$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，異面直線所成角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．