8.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點(diǎn).
(1)求三棱錐A-A1EC的體積;
(2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值.

分析 (1)利用三棱錐體積公式求解即可.
(2)延長(zhǎng)DC至G,使CG=DC,連結(jié)BG、D1G,說明∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角.在△D1BG中,利用余弦定理求解異面直線BD1與CE所成角的余弦值即可.

解答 解:(1)由三棱錐體積公式可得:$V=\frac{1}{3}A{A_1}•{S_{△ACE}}$=$\frac{1}{3}•1•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•1=\frac{1}{12}$.
(2)延長(zhǎng)DC至G,使CG=$\frac{1}{2}$DC,連結(jié)BG、D1G
∵$CG\stackrel{∥}{=}EB$,∴四邊形EBGC是平行四邊形.
∴BG∥EC.∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角.
在△D1BG中,D1B=$\sqrt{3}$,BG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,D1G=$\sqrt{{1}^{2}+({\frac{3}{2})}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$.
∴cos∠D1BG=$\frac{{D}_{1}{B}^{2}+{BG}^{2}-{D}_{1}{G}^{2}}{2{D}_{1}B•BG}$=$\frac{3+\frac{5}{4}-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$
即異面直線BD1與CE所成角的余弦值是:$\frac{\sqrt{15}}{15}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法,異面直線所成角的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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