Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，a∈R是常數(shù)．
（1）若a=1，求y=f（x）在點(diǎn)P（-1，f（-1））處的切線；
（2）是否存在常數(shù)a，使f（x）＜2x+1對任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常數(shù)a的取值范圍；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先去絕對值，利用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=-1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出化簡；
（2）討論x的正負(fù)，將a分離出來，x=0時(shí)，對任意a∈R恒成立，0＜x＜2時(shí)，轉(zhuǎn)化成，然后利用導(dǎo)數(shù)研究兩邊函數(shù)的最值，得到a的范圍，x＜0時(shí)，轉(zhuǎn)化成或對任意x∈（-∞，2）恒成立，求出a的范圍，最后求出a的交集即可．
解答：解：（1）a=1時(shí)，，在點(diǎn)P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x²，f^/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f^/（-1）=3，所求切線方程為y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0時(shí)，（*）等價(jià)于0＜1，對任意a∈R恒成立．
0＜x＜2時(shí)，（*）等價(jià)于，即，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立，
，在0＜x＜2單調(diào)遞增，，所以（9分）．
x＜0時(shí)，（*）等價(jià)于，即或，，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)-x=1即x=-1時(shí)成立，所以a＞0，
在x＜0時(shí)的取值范圍為R，所以恒成立的a的解集為空集φ．
所以，常數(shù)a的取值范圍為．
點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．