Question

如圖，將45°的直角三角板ADC和30°的直角三角板ABC拼在一起組成平面四邊形ABCD，其中45°的直角三角板的斜邊AC與30°的直角三角板的30°所對的直角邊重合，若

DB

=x

DA

+y

DC

，則x，y分別等于（　　）

• A、

  3

  ，1
• B、

  3

  +1，

  3

• C、2，

  3

• D、

  3

  ，

  3

  +1

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系求出各邊長，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．

解答：解：由題意得，若設(shè) AD=DC=1，則 AC=

2

，AB=2

2

，BC=

6

，由題意知，

DB

=x

DA

+y

DC

△BCD中，由余弦定理得 DB²=DC²+CB²-2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×

6

×

2

2

=7+2

3

，
∵

DB

=x

DA

+y

DC

，∠ADC=90°，
∴DB²=x²+y²，∴x²+y²=7+2

3

  ①．
如圖，作

DC′

=y

DC

，

DA′

=x

DA

則

DB

=

DC′

+

DA′

，
CC′=y-1，C′B=x，
Rt△CC′B中，由勾股定理得  BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）²+x²，②
由①②可得 y=1+

3

，x=

3

，
故選D．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，余弦定理、勾股定理得應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形集合的數(shù)學(xué)思想．