Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=1，b=2，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為3，求$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的意義求出x的范圍即可；
（Ⅱ）求出a+b的值，根據(jù)柯西不等式求出代數(shù)式的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）|x-1|+|x+2|≤5，左式可看作數(shù)軸上：
點(diǎn)x 到-2 和1 兩點(diǎn)的距離之和，…2分
當(dāng)x=-3 或2 時(shí)，距離之和恰為5，
故-3≤x≤2；…5分
（Ⅱ）f（x）=|x-a|+|x+b|≥|x-a-x-b|=a+b，
∴a+b=3，…7分，
由柯西不等式得$（\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}）（b+a）≥{（a+b）^2}$，
$\therefore$ $\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}≥a+b=3$，…9分
當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{3}{2}$ 時(shí)等號(hào)成立，
$\therefore$ $\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}$ 的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的意義，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．