Question

給定整數(shù)，證明：存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)

  與 

是互素的合數(shù)．（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù)．）

Answer 1

證明： 我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均．

第一步，我們證明，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，有．

證明：對(duì)任意，，設(shè)正整數(shù)k滿足

                       ，                         ①

并設(shè)l是使的最小正整數(shù)．我們首先證明必有．

   事實(shí)上，設(shè)是A中最大的數(shù)，則由，易知A中至多有個(gè)元素，即，故．又由的定義知，故由①知．特別地有．

此外，顯然，故由l的定義可知．于是我們有．

若，則；否則有，則

         ．

由于是A中最大元，故上式表明．結(jié)合即知．

現(xiàn)在，若有的兩個(gè)不同的非空子集A，B，使得，則由上述證明知，故，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用易知必須A=B，矛盾．

第二步，設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù)，，我們證明，對(duì)任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)與是兩個(gè)互素的整數(shù)．

事實(shí)上，由的定義易知，有的兩個(gè)子集，滿足，，且

           ．            ②

顯然及都是整數(shù)，故由上式知與都是正整數(shù)．

現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是與的一個(gè)公約數(shù)，則是d的倍數(shù)，

故由②可知，但由K的選取及的構(gòu)作可知，是小于K的非零整數(shù)，故它是的約數(shù)，從而．再結(jié)合及②可知d=1，故與互素．

第三步，我們證明，可選擇正整數(shù)x，使得中的數(shù)都是合數(shù)．由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，

故可選擇n個(gè)互不相同且均大于K的素?cái)?shù)．將中元素記為，

則，且（對(duì)），

故由中國(guó)剩余定理可知，同余方程組

，

有正整數(shù)解．

    任取這樣一個(gè)解x，則相應(yīng)的集合中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù)．結(jié)合第二步的結(jié)果，這一n元集合滿足問題的全部要求．