Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，并且a₁=a（0＜a＜1），an+1=

an

1+an

(n∈N*)，求證：
（1）若0＜a_n＜1，則0＜a_n+1＜

1

2

；
（2）an=

a

1+(n-1)a

；
（3）

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)y=

x

1+x

，利用函數(shù)在（0，1）的單調(diào)性證明數(shù)列．
（2）將條件），an+1=

an

1+an

(n∈N*)，取倒數(shù)，構(gòu)造新的等差數(shù)列，利用構(gòu)造的數(shù)列求通項(xiàng)公式．
（3）利用放縮法證明不等式．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="ye2coom" class="MathJye">y=

x

1+x

=1-

1

x+1

 所以，函數(shù)y=

x

1+x

（0＜x＜1）是增函數(shù)，
由已知an+1=

an

1+an

(n∈N*)，0＜a_n＜1  所以0＜an-1＜

1

2

．
（2）因?yàn)?span id="eaywqe0" class="MathJye">an+1=

an

1+an

(n∈N*)，所以

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1，即數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a

，公差為1的等差數(shù)列
所以

1

an

=

1

a

+(n-1)，所以an=

a

1+(n-1)a

，n∈N•．
（3）由已知an=

a

1+(n-1)a

=

1

1 a +n-1

＜

1

n

，（∵0＜a＜1）
所以

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
所以不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列和不等式的綜合，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．