Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象．
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）有3個(gè)交點(diǎn)，求k的值；
（3）試分析函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先去掉絕對(duì)值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再分段畫(huà)出函數(shù)的圖象即可畫(huà)出在區(qū)間[-2，6]上函數(shù)f（x）的圖象；（2）因?yàn)間（x）的圖象是一條與x軸平行的直線(xiàn)，故數(shù)形結(jié)合即可得k的值；（3）先將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用兩函數(shù)的圖象即可數(shù)形結(jié)合討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)與k的范圍
解答：解：（1）f（x）=|x²-4x-5|=，如圖．
（2）∵g（x）的圖象是一條與x軸平行的直線(xiàn)
函數(shù)f（x）與g（x）有3個(gè)交點(diǎn)
由f（x）的圖象（下圖）可知此時(shí)g（x）的圖象經(jīng)過(guò)
y=-（x²-4x-5）的最高點(diǎn)
即g（x）=k==9
∴k=9
（3）∵函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)f（x）與g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
又∵g（x）的圖象是一條與x軸平行的直線(xiàn)
∴由f（x）的圖象（右圖）可知 
k=0或k＞9時(shí)，函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)
0＜k＜9時(shí)，函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)
k=9時(shí)，函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)
k＜0時(shí)，函數(shù)ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及利用圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)及絕對(duì)值函數(shù)的綜合運(yùn)用，本題對(duì)思維能力要求較高，去掉絕對(duì)值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵