Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，前n項和為S_n，an+1=

pan+n-1(n為奇數(shù)) -an-2n(n為偶數(shù))

．
（Ⅰ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），試求數(shù)列{b_n}前n項和T_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_2n，試判斷c_n是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅲ）當(dāng)p=

1

2

時，問是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），結(jié)合an+1=

pan+n-1(n為奇數(shù)) -an-2n(n為偶數(shù))

．可得數(shù)列是一個等差數(shù)列，求出其通項公式后，進(jìn)一步可得數(shù)列{b_n}前n項和T_n；
（Ⅱ）當(dāng)p=

1

2

時，我們易得數(shù)列{c_n}是一個等比數(shù)列，但是當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的定義，代入易驗證結(jié)論．
（III）根據(jù)（I）、（II）的結(jié)論，我們可以根據(jù)（S_2n+1-10）c_2n=1，構(gòu)造一個關(guān)于n的方程，利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以求出方程的根，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）據(jù)題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，所以{b_n}成等差數(shù)列，故T_n=-2n²-2n（4分）
（Ⅱ）當(dāng)p=

1

2

時，數(shù)列{c_n}成等比數(shù)列；當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不為等比數(shù)列
理由如下：因為c_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，故當(dāng)p=

1

2

時，數(shù)列c_n是首項為1，公比為-

1

2

等比數(shù)列；
當(dāng)p≠

1

2

時，數(shù)列{c_n}不成等比數(shù)列（9分）
（Ⅲ）當(dāng)p=

1

2

時，a2n=cn=(-

1

2

)n-1，a2n+1=bn-a2n=-4n-(-

1

2

)n-1（10分）
因為S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=-2n²-2n+2（n≥1）（12分）
∵（S_2n+1-10）c_2n=1，
∴4n²+4n+16=4ⁿ，設(shè)f（x）=4^x-4x²-4x-16（x≥2），
則g（x）=f'（x）=4^xln4-8x-4，
∴g'（x）=（ln4）²4^x-8＞0（x≥2），且g（2）=f'（2）＞0，
∴f（x）在[2，+∞）遞增，且f（3）=0，f（1）≠0，
∴僅存在惟一的n=3使得（S_2n+1-10）c_2n=1成立（16分）

點評：本題考查的知識點是等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，其中熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，能熟練的判斷一個數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列是解答本題的關(guān)鍵．