Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：．
（1）若a=-1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a=3，試證明：對?n∈N^*，a_n是4的倍數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，令b_n=a_n-1，則，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a=3，，利用數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合二項式定理，即可證明結(jié)論．
解答：（1）解：a=-1時，
令b_n=a_n-1，則
∵b₁=-5為奇數(shù)，b_n也是奇數(shù)且只能為-1
∴，即；
（2）證明：a=3時，
①n=1時，a₁=4，命題成立；
②設(shè)n=k時，命題成立，則存在t∈N^*，使得a_k=4t
∴=3^4t-1+1=27•（4-1）^4（t-1）+1
∵（4-1）^4（t-1）=+…+4+1=4m+1，m∈Z
∴=27•（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1時，命題成立
由①②可知，對?n∈N^*，a_n是4的倍數(shù)．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，考查二項式定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．