解答題

已知拋物線y2＝x上總存在兩點關(guān)于直線l：y＝k(x－1)＋1對稱，求實數(shù)k的取值范圍．

答案：
解析：

　　解法一：設(shè)拋物線上點A(x1，y2)，B(x2，y2)關(guān)于直線l對稱，則y12＝x1，y22＝x2．

　　兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2．

　　即y1＋y2＝．

　　∵＝kAB＝－，∴y1＋y2＝－k

　　∴＝－．

　　∵AB中點在l直線上，

　　∴＝－，即弦的中點為(－，－)

　　∴直線AB方程為y＋＝－(x－＋)

　　∴x＝－ky－－，代入y2＝x得

　　y2＋ky＋＋－＝0．

　　由Δ＝k2－4(＋－)＞0得－2＜k＜0．

　　解法二：設(shè)拋物線上的點A(y12，y1)，B(y22，y2)關(guān)于直線l對稱則

　　可得

　　∴y1，y2是方程t2＋kt2＋＋－＝0的兩個不同實根

　　∴Δ＝k2－4(＋－)＞0

　　∴－2＜k＜0即為所求．


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(Ⅲ)是否存在實數(shù)a，使拋物線y＝ax2－1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍．

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