Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=3S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₄a_n，試比較b1+b2+…+bn與

(n-1)2

2

•的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n，得a_n+2=3S_n+1，故a_n+2-a_n+1=3a_n+1，整理得 

an+2

an+1

=4（n∈N^*），由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．（2）bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

，故n=1，b₁=

(1-1)2

2

=0；n≥2，b1+b2+…+bn=0+

log

3 4

+0+

log

3 4

+…+

log

3 4

+（n-2）（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

，由此能比較b1+b2+…+bn與

(n-1)2

2

的大�。�

解答：解：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n（1），
得a_n+2=3S_n+1（2）
（2）-（1）得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
整理得 

an+2

an+1

=4（n∈N^*）
∴數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4為公比的等比數(shù)列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以，an=

1 3×4n-2

(n=1) (n≥2，n∈N)

…（5分）
（2）∵an=

1 3×4n-2

(n=1) (n≥2，n∈N)

，b_n=log₄a_n，
∴bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

∴n=1，b₁=

(1-1)2

2

=0
n≥2，b1+b2+…+bn=0+

log

3 4

+0+

log

3 4

+…+

log

3 4

+（n-2）（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

=

(n-1)

2

[2

log

3 4

-1+（n-1）]

(n-1)

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

∴b1+b2+…+bn ≥

(n-1)2

2

…（12分）

點評：本題考查通項公式的證明和比較大小，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．