Question

6．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的最小值正周期、最大值及取得最大值時x的值；
（2）討論f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為余弦型函數(shù)，求出f（x）的最小正周期和最大值，
以及f（x）取最大值時x的值；
（2）由余弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的增區(qū)間，
求出f（x）在[0，π]上的增區(qū)間和減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$sin2x
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
所以f（x）的最小正周期為T=π，最大值為1，
當且僅當$2x+\frac{π}{3}=2kπ$，即$x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$時取最大值；
（2）由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z；
得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴f（x）的增區(qū)間是[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
當k=1時，f（x）在[0，π]上的增區(qū)間為[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
在[0，π]上的減區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]；
∴f（x）在$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上單調(diào)遞增，在$[0，\frac{π}{3}]$和$[\frac{5π}{6}，π]$上單調(diào)遞減．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了三角恒等變換問題，是中檔題．