Question

如圖，把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角，做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋直六棱柱的盒子（不計(jì)接縫），要使所做成的盒子體積最大，問(wèn)如何裁剪？

Answer 1

分析：由圖形設(shè)BO長(zhǎng)為x，可求出AB，在直角三角形ABD中解三角形算出BD的長(zhǎng)，即求出六棱柱的高的關(guān)于x的表達(dá)式，再求出底面的用x表示的面積表達(dá)式，用體積公式就可以得到六棱柱的體積表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)取到最值時(shí)x的值即可．

解答：解：設(shè)原正六邊形中剪去六個(gè)角中的其中一個(gè)為ADBC，連接AO（O為正六邊形的外接圓的圓心），又設(shè)BO長(zhǎng)為x，則直六棱柱的盒子的體積為
V（x）=6×

3

4

x²（a-x）×

3

2

=（a-x）x²=

9

4

（ax²-x³），
∴V′（x）=

9

4

（2ax-3x²），
令V′（x）=

9

4

（2ax-3x²）=0，得x=

2

3

a，x=0（舍），
因?yàn)閂（x）只有一個(gè)極值，所以它是最大值，
即x=

2

3

a時(shí)，[V（x）]_max=

a3

3

，
因此，只要連接AO，在AO上取AB長(zhǎng)為

a

3

，再過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于正六邊形的邊長(zhǎng)于點(diǎn)C，BD垂直于正六邊形的邊長(zhǎng)于點(diǎn)D，剪去四邊形ADBC，同樣可剪去另外五角，則折成無(wú)蓋直六棱柱的盒子體積最大．

點(diǎn)評(píng)：考查直六棱柱的體積公式，及用公式將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的能力，用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性求出最值及最值取到時(shí)自變量的求法．