精英家教網(wǎng)如圖,把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋直六棱柱的盒子(不計(jì)接縫),要使所做成的盒子體積最大,問(wèn)如何裁剪?
分析:由圖形設(shè)BO長(zhǎng)為x,可求出AB,在直角三角形ABD中解三角形算出BD的長(zhǎng),即求出六棱柱的高的關(guān)于x的表達(dá)式,再求出底面的用x表示的面積表達(dá)式,用體積公式就可以得到六棱柱的體積表達(dá)式,再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)取到最值時(shí)x的值即可.
解答:解:設(shè)原正六邊形中剪去六個(gè)角中的其中一個(gè)為ADBC,連接AO(O為正六邊形的外接圓的圓心),又設(shè)BO長(zhǎng)為x,則直六棱柱的盒子的體積為
V(x)=6×
3
4
x2(a-x)×
3
2
=(a-x)x2=
9
4
(ax2-x3),
∴V′(x)=
9
4
(2ax-3x2),
令V′(x)=
9
4
(2ax-3x2)=0,得x=
2
3
a,x=0(舍),
因?yàn)閂(x)只有一個(gè)極值,所以它是最大值,
即x=
2
3
a時(shí),[V(x)]max=
a3
3

因此,只要連接AO,在AO上取AB長(zhǎng)為
a
3
,再過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于正六邊形的邊長(zhǎng)于點(diǎn)C,BD垂直于正六邊形的邊長(zhǎng)于點(diǎn)D,剪去四邊形ADBC,同樣可剪去另外五角,則折成無(wú)蓋直六棱柱的盒子體積最大.
點(diǎn)評(píng):考查直六棱柱的體積公式,及用公式將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的能力,用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性求出最值及最值取到時(shí)自變量的求法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋直六棱柱的盒子(不計(jì)接縫),要使所做成的盒子體積最大,問(wèn)如何裁剪?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋六棱柱盒子,設(shè)高為h,所做成的盒子體積為V(不計(jì)接縫).

(1)寫(xiě)出體積V與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)為多少時(shí),體積V最大,最大值是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí):4.5 生活中的優(yōu)化問(wèn)題(解析版) 題型:解答題

如圖,把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋直六棱柱的盒子(不計(jì)接縫),要使所做成的盒子體積最大,問(wèn)如何裁剪?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年度新課標(biāo)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)單元測(cè)試1-理科 題型:解答題

 如圖,把邊長(zhǎng)為a的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角,做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋六棱柱盒子,設(shè)高為h所做成的盒子體積V(不計(jì)接縫).

(1)寫(xiě)出體積V與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)為多少時(shí),體積V最大,最大值是多少?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案