Question

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）證明：對(duì)于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（3）=0解出a值，再驗(yàn)證在x=3左右導(dǎo)數(shù)變號(hào)．
（II）證明對(duì)于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤

1

2

e3可轉(zhuǎn)化為證明fmax(x)-fmin(x)≤

1

2

e3．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=（ax+a-2）e^x．由f′（3）=0得a=

1

2

．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x在x=3處的左右異號(hào)，所以f（x）在x=3處取得極值，
故a=

1

2

．
（Ⅱ）證明：f（x）=

1

2

（x-4）e^x，f′（x）=

1

2

（x-3）e^x．當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（3，4]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（3，4]上單調(diào)遞增．所以在區(qū)間[2，4]上fmin(x)=f(3)=-

1

2

e3．
又f（2）=-e²，f（4）=0，所以在區(qū)間[2，4]上f_max（x）=f（4）=0．
對(duì)于任意x₁，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）-f（x₂）≤f_max（x）-f_min（x）=

1

2

e3．
即f(x1)-f(x2)≤

1

2

e3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值及不等式恒成立問(wèn)題，注意f′（x₀）=0是可導(dǎo)函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極值的必要不充分條件，認(rèn)真體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在本題中應(yīng)用．