Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=

1

4

(m-3x)在[2，4]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（參考數(shù)據(jù)：e=2.71 828…）
（Ⅲ）設常數(shù)p≥1，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N*），a₁=lnp，求證：a_n+1≥a_n．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行，則在x=1處的導數(shù)等于直線x+2y-1=0的斜率，從而求解．
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，先將原方程整理為4ln（1+x）-x=m．再利用圖象的交點來解決．（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）用導數(shù)法證明當x∈（-1，+∞）時，f（x）≤0，得到ln（1+x）≤x．再由已知有p＞a_n，構(gòu)建a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n）模型，只要再證11+p-1-a_n＞1即可

解答：解：（I）∵f′(x)=

1

1+x

-a，
∴f′(1)=

1

2

-a．
由題知

1

2

-a=-

1

2

，
解得a=1．（3分）

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，
∴原方程可整理為4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=

4

1+x

-1=

3-x

1+x

，
∴當3＜x≤4時g'（x）＜0，當2≤x＜3時g'（x）＞0，g'（3）=0，
即g（x）在[2，3]上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)，
∴在x=3時g（x）有最大值4ln4-3．（6分）
∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，
∴g（2）-g（4）=4ln

3

5

+2=2(2ln

3

5

+1)=2ln

9e

25

．
由9e≈24.46＜25，于是2ln

9e

25

＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范圍為[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）

（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
顯然f'（0）=0，當x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，當x∈（-1，0）時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)，在[0，+∞）上是減函數(shù)．
∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，
∴當x∈（-1，+∞）時，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．（*）（11分）
由已知有p＞a_n，即p-a_n＞0，所以p-a_n-1＞-1．
∵a_n+1-a_n=ln（p-a_n）=ln（1+p-1-a_n），
∴由（*）中結(jié)論可得a_n+1-a_n≤p-1-a_n，即a_n+1≤p-1（n∈N^*）．
∴當n≥2時，a_n+1-a_n=ln（p-a_n）≥ln[p-（p-1）]=0，即a_n+1≥a_n．
當n=1，a₂=a₁+ln（p-lnp），
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，
∴a₂≥a₁+ln[p-（p-1）]=a₁，結(jié)論成立．
∴對n∈N^*，a_n+1≥a_n．（14分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，用導數(shù)法解方程根的問題以及考查單調(diào)數(shù)列，綜合性很強，要注意已證結(jié)論的應用．