Question

（2012•河北區(qū)一模）已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

．若x，y滿(mǎn)足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為

[-3，3]

．

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，我們易根據(jù)已知中的條件構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x，y，z的方程，即關(guān)于Z的目標(biāo)函數(shù)，畫(huà)了約束條件|x|+|y|≤1對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，并求出各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出目標(biāo)函數(shù)的最值，進(jìn)而給出z的取值范圍．

解答：解：∵向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=2x+2z+3y-3z=0，∴z=2x+3y．
∵滿(mǎn)足不等式|x|+|y|≤1的平面區(qū)域如下圖所示：
由圖可知當(dāng)x=0，y=1時(shí)，z取最大值3，
當(dāng)x=0，y=-1時(shí)，z取最小值-3，
故z的取值范圍為[-3，3]，
故答案為[-3，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用平面向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，求出目標(biāo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．