Question

數(shù)列{a_n}的前n項和記作S_n，滿足S_n=2a_n+3n-12 （n∈N^*）．
（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=，求證：b₁+b₂+…+b_n＜；
（3）若c_n=，且++…+＜log_a（6-a）對所有的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）S_n=2a_n+3n-12，S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12 （n≥2）
作差化簡得到a_n-2a_n-1+3=0，所以a_n-3=2（a_n-1-3）且a₁=9，
所以a_n-3=6•2^n-1，所以a_n=3•2ⁿ+3
（2）b_n==，∴b₁+b₂+…+b_n==
（3）c_n==，令T_n=++…+
錯位相減得 ，∴T_n＜2
∵++…+＜log_a（6-a）對所有的正整數(shù)n恒成立，∴l(xiāng)og_a（6-a）≤2
當0＜a＜1時，6-a≤a²，∴a≥2或a≤-3
當1＜a＜6時，6-a≥a²，∴-3≤a≤2
綜上，1≤a≤2．
分析：（1）由S_n=2a_n+3n-12可得S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12 （n≥2），兩式相減化簡可得a_n-3=2（a_n-1-3），從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n==，從而b₁+b₂+…+b_n=化簡可證
（3）c_n==，令T_n= 再寫一式錯位相減可知，從而T_n＜2故問題可轉(zhuǎn)化為log_a（6-a）≤2，進而問題得解．
點評：本題考查構(gòu)造法求數(shù)列的通項、裂項求和，同時考查恒成立問題的處理，解題時要認真審題，仔細解答，注意問題的等價轉(zhuǎn)化．