Question

14．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$（a≠0）在區(qū)間（-1，1）上的奇偶性和單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 由已知易判斷出函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)行判斷得到結(jié)論；利用導(dǎo)數(shù)，即可得到答案；

解答 解：由題意，f（-x）=$\frac{-ax}{（-x）^{2}-1}$=-$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
∵f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$，
∴f′（x）=$\frac{-a（{x}^{2}+1）}{{x}^{2}-1}$，
∴-1＜x＜1，∴x²-1＜0
∴a＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
a＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中掌握函數(shù)奇偶性的定義及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．