如圖一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起, 使得△ABD與△ABC成30o的二面角,如圖二,在二面角中.
(1) 求CD與面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 對(duì)于AD上任意點(diǎn)H,CH是否與面ABD垂直。
(1) =;
(2) CH不可能同時(shí)垂直BD和BA,即CH不與面ABD垂直。
【解析】
試題分析:依題意,ABD=90o,建立如圖的坐標(biāo)系使得△ABC在yoz平面上,△ABD與△ABC成30o的二面角, DBY=30o,又AB=BD=2, A(0,0,2),B(0,0,0),C(0,,1),D(1,,0),
(1)x軸與面ABC垂直,故(1,0,0)是面ABC的一個(gè)法向量。
設(shè)CD與面ABC成的角為,而= (1,0,-1),
sin==
[0,],=; 6分
(2) 設(shè)=t= t(1,,-2)= (t,t,-2 t),
=+=(0,-,1) +(t,t,-2 t) = (t,t-,-2 t+1),
若,則 (t,t-,-2 t+1)·(0,0,2)="0" 得t=, 10分
此時(shí)=(,-,0),而=(1,,0),·=-=-10, 和不垂直,即CH不可能同時(shí)垂直BD和BA,即CH不與面ABD垂直。12分
考點(diǎn):立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系,角的計(jì)算,空間向量的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,本題利用空間向量,簡(jiǎn)化了證明及計(jì)算過(guò)程。
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D、H、G為垂足.若將正△ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐體積為V,則其中由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比值為多少?
圖6
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