已知函數(shù)f(x)=1+
1x-1
,g(x)=f(2|x|)

(I)求函數(shù)f(x)和g(x)的定義域;
(II)函數(shù)f(x)和g(x)是否具有奇偶性,并說明理由;
(III)證明函數(shù)g(x)在(-∞,0)上為增函數(shù).
分析:(1)根據(jù)分式函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的定義域的判定,可知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域;
(2)根據(jù)奇偶性的定義,由f(x)的定義域為{x|x≠1}可知函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),判斷g(-x)與g(x)之間的關(guān)系,即可判斷函數(shù)g(x)的奇偶性;
(3)利用原始的定義進(jìn)行證明,在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2,只要證g(x2)>g(x1)就可以可,把x1和x2分別代入函數(shù)g (x)進(jìn)行證明.
解答:解:(I)g(x)=f(2|x|)=1+
1
2|x|-1

∵2|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠1}
函數(shù)g(x)的定義域{x|x∈R且x≠0}…(5分)
(II)由f(x)的定義域為{x|x≠1}可知函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),
g(-x)=1+
1
2|-x|-1
=1+
1
2|x|-1
=g(x)
,
且函數(shù)g(x)的定義域{x|x∈R且x≠0}的定義域關(guān)于原點對稱,
∴g(x)為偶函數(shù)…(10分)
(III)設(shè)x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2
g(x1)-g(x2)=
1
2|x1|-1
-
1
2|x2|-1
=
2|x2|-2|x1|
(2|x1|-1)(2|x2|-1)
,
∵x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2
∴|x1|>|x2|>0
所以2|x1|2|x2|,2|x2|-2|x1|<0
2|x1|-1>0,2|x2|-1>0⇒g(x1)<g(x2)
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知  函數(shù)g(x)在(-∞,0)上為增函數(shù)…(15分)
點評:此題主要考查分式函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是利用定義進(jìn)行證明,是一道基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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