Question

將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?nbsp;（橫坐標不變），得到曲線C₁、拋物線C₂的焦點是直線y=x-1與x軸的交點．
（1）求C₁，C₂的標準方程；
（2）請問是否存在直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交于不同兩點M，N，且滿足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直線l的方程； 若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得C₁的方程為x²+（2y）²=4，拋物線C₂的焦點是直線y=x-1與x軸的交點（1，0），由此能求出C₁，C₂的標準方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，由此利用韋達定理、向量垂直，結(jié)合已知條件能求出l的方程．

解答： 解：（1）∵圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?nbsp;（橫坐標不變），得到曲線C₁，
∴C₁的方程為x²+（2y）²=4，整理，得：

x2

4

+y2=1．
∵拋物線C₂的焦點是直線y=x-1與x軸的交點（1，0），
∴C₂的方程為y²=4x．（4分）
（2）由題意知直線l的斜率不存在時，不滿足題意，（6分）
當直線l斜率存在時，假設(shè)存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設(shè)其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(k2-1)

1+4k2

，①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y₁y₂=k²（

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1）=-

3k2

1+4k2

，②（10分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①、②代入（*）式，
得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2，（11分）
∴存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

點評：本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．