Question

某校內(nèi)有一塊以為圓心，（為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）荒地，該校總務(wù)處計(jì)劃對(duì)其開發(fā)利用，其中弓形區(qū)域（陰影部分）用于種植學(xué)校觀賞植物，區(qū)域用于種植花卉出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元，種植花卉的利潤(rùn)是每平方米80元，種植草皮的利潤(rùn)是每平方米30元.

（1）設(shè)（單位：弧度），用表示弓形的面積；

（2）如果該校總務(wù)處邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地，如何設(shè)計(jì)的大小才能使總利潤(rùn)最大？并求出該最大值.

（參考公式：扇形面積公式，表示扇形的弧長(zhǎng)）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時(shí)，總利潤(rùn)取最大值.

【解析】

試題分析：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，考查思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力.第一問，；第二問，先列出總利潤(rùn)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間求函數(shù)最值.

試題解析：（1），, . 

（2）設(shè)總利潤(rùn)為元，種植草皮利潤(rùn)為元，種植花卉利潤(rùn)為，種植學(xué)校觀賞植物成本為

，，,

 .

  

設(shè)  .

 

上為減函數(shù)；

上為增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，取到最小值,

此時(shí)總利潤(rùn)最大：.

答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時(shí)，總利潤(rùn)取最大值。

考點(diǎn)：1.扇形面積；2.弓形面積；3.三角形面積；4.利用導(dǎo)數(shù)求最值.