Question

如圖，已知ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，E，E₁分別是AC，A₁C₁的中點(diǎn)．

求證：平面AB₁E₁∥平面BEC₁．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：根據(jù)面面平行的判定定理，在平面AB₁E₁內(nèi)找到兩條相交直線分別與平面BEC₁平行即可．

　　證明：連接EE₁，因?yàn)镋，E₁分別是AC，A₁C₁的中點(diǎn)，

　　所以EE₁∥AA₁，且EE₁＝AA₁．

　　又因?yàn)锳A₁∥BB₁，且AA₁＝BB₁，

　　所以BB₁∥EE₁，且BB₁＝EE₁．

　　所以四邊形B₁BEE₁是平行四邊形，

　　所以BE∥B₁E₁．

　　又BE平面BEC₁，B₁E₁平面BEC₁，

　　所以B₁E₁∥平面BEC₁．

　　因?yàn)镋₁C₁＝A₁C₁，AE＝AC，A₁C₁＝AC，A₁C₁∥AC，

　　所以E₁C₁＝AE，且E₁C₁∥AE，

　　所以四邊形AEC₁E₁是平行四邊形，

　　所以AE₁∥EC₁．

　　又EC₁平面BEC₁，A₁E平面BEC₁，

　　所以AE₁∥平面BEC₁．

　　又B₁E₁∩AE₁＝E₁，B₁E₁平面AB₁E₁，AE₁平面AB₁E₁，

　　由平面與平面平行的判定定理，得平面AB₁E₁∥平面BEC₁．

　　點(diǎn)評(píng)：面面平行的證明常常可轉(zhuǎn)化為線面平行的問題，最終轉(zhuǎn)化為線線平行的問題，也就是共面直線的平行問題，該過程體現(xiàn)了空間問題平面化的思想．