Question

定義在R⁺上的函數(shù)f（x），g（x）滿足函數(shù)f（x）=x²-alnx在[1，2]上為增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1）為減函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）當b＞-1時，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=x²-alnx在[1，2]上為增函數(shù)，f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，得出2x²-a≥0在[1，2]上恒成立，a≤2，同理g（x）=x-a

x

在（0，1）為減函數(shù)．得出a≥2，所以a=2
（Ⅱ）f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，即即x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，分離b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令h（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤h（x）min，利用導數(shù)工具求最小值后，便可求得范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，由已知，函數(shù)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，則f′（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即2x²-a≥0在[1，2]上恒成立，即只要a≤2x²在[1，2]上恒成立，（2x²）min=2，∴a≤2
 g′（x）=1-

a

2 x

=

2 x -a

2 x

，g（x）在（0，1）為減函數(shù)．則g′（x）≤0在（0，1）恒成立，
即2

x

-a≤0，2

x

≤a恒成立．2

x

＞2，∴a≥2，
所以a=2
所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

．
（Ⅱ）f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，即x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
分離b得出b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，令h（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，需b≤h（x）min
求導得出h′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

由于x∈（0，1]，所以

3

2x4

＞

3

2

＞

1

2

，

1-lnx

x2

＞0，
從而h′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

＜0，
h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，h（x）≥h（1）=

1

2

+0+

1

2

=1，所以b≤1，又b＞-1，所以1＞b＞-1．

點評：本題考查單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，分離參數(shù)求取值范圍，求函數(shù)最值及應用．其中（2）題中導數(shù)符號不易同分后再判斷．考查轉(zhuǎn)化計算，估算能力與實數(shù)的性質(zhì)．