Question

函數(shù)f（x）=a^2x-a^x+b 　x∈[-1，2]，若f （0）=1，f （1）=，求
（1）f （x）的解析式　
（2）f （x）的值域　
（3）f （x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）f（x）=a^2x-a^x+b，x∈[-1，2]
因?yàn)閒（0）=1，f（1）=
則（2分）
∴
∴（4分）
（2）設(shè)t=，t∈[，2]．
∴y=t²-t+1=+．
∴當(dāng)t=時(shí)，y_min=；
當(dāng)t=2時(shí)，y_max=3．
∴函數(shù)的值域?yàn)椋篬，3]．
（3）令．
由于為單調(diào)遞減函數(shù)單調(diào)遞增（12分）
∴（14分）
分析：（1）直接根據(jù)f （0）=1以及f （1）=，列出關(guān)于a，b的兩個(gè)方程，解方程求出a，b即可求f （x）的解析式；
（2）令t=，求出t的取值范圍，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域的問(wèn)題，比較對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）令t=，求出t的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性的求法，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性中的同增異減的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)指數(shù)函數(shù)知識(shí)以及二次函數(shù)知識(shí)的綜合考查．其中涉及到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循原則是：兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)；簡(jiǎn)單的記法就是“同則增，異則減“．