Question

已知函數f（x）=（x²+ax+b）e^x，且f（0）=7，x=1是它的極值點．
（1）求f（x）的表達式；
（2）試確定f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x等于0代入函數解析式讓其等于7即可解出b的值，然后求f（x）的導函數，因為x等于1是函數的極值點，所以把x等于1代入到到函數中即可求出a的值，把a的值和b的值代入到f（x）中得到f（x）的解析式；
（2）把a與b代入到函數的導函數中，分解因式后，令導函數大于0解出x的范圍即為函數的增區(qū)間，令導函數小于0解出x的范圍即為函數的減區(qū)間；
（3）根據（2）得到的函數單調區(qū)間，根據函數的增減性得到函數的最大值和最小值，若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，則只需y=f（x）與y=m的圖象有三個交點，即要m大于函數的最小值，小于函數的最大值，即可求出符合題意m的范圍．
解答：解：（1）∵f（0）=7，∴b=7．
又f′（x）=[x²+（2+a）x+a+b]e^x，x=1是f（x）的極值點，
∴f′（1）=0，即（10+2a）e=0，∴a=-5，
∴f（x）=（x²-5x+7）e^x；
（2）∵f′（x）=（x²-3x+2）e^x=（x-1）（x-2）e^x
令f′（x）＞0得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0得1＜x＜2，
∴f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的單調減區(qū)間為（1，2）；
（3）由（2）知f（x）_最大=f（1）=3e，f（x）_最小=f（2）=e²．
若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點，則只需y=f（x）與y=m的圖象有三個交點．
由于f（x）在（-∞，1）單調遞增，且f（-1）=＜f（2），
故只要f（x）_最小＜m＜f（x）_最大，∴e²＜m＜3e．
故當e²＜m＜3e時，g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3個零點．
點評：此題考查學生會根據導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的增減性得到函數的最值，掌握函數的零點與方程交點的關系，是一道中檔題．