已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+1（a∈R），且f（x）在點（
2
3
，f（
2
3
））處的切線垂直于y軸．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．
分析：（1）根據(jù)f（x）在點（
2
3
，f（
2
3
））處的切線垂直于y軸，即f′（
2
3
）=0，即可求實數(shù)a的值；
（2）求導數(shù)，令f′（x）=0，可得x=0或
2
3
，求出f（0）=1，f（
2
3
）=
31
27
，f（2）=-3，即可得出f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．
解答：解：（1）依題意：f′（
2
3
）=0．
∵f（x）=-x3+ax2+1，
∴f′（x）=-3x2+2ax，
∴-3×(
2
3
)2+2a×
2
3
=0，
∴a=1；
（2）由（1）知：f（x）=-x3+x2+1，f′（x）=-3x2+2x，
令f′（x）=0，可得x=0或
2
3
，
∵f（0）=1，f（
2
3
）=
31
27
，f（2）=-3，
∴f（x）max=
31
27
，f（x）min=-3．
點評：本題主要考查導數(shù)的基本運算和導數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握利用導數(shù)在研究函數(shù)的基本應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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