Question

若數(shù)列A_n={a_n}：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）滿(mǎn)足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），則稱(chēng)數(shù)列A_n為E數(shù)列，記S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足a₁=a₉=0，且S（A₉）＞0的E數(shù)列A₉；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，證明：E數(shù)列A_n是遞增數(shù)列的充要條件是a_n=2012．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：證明題,新定義,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）對(duì)照E數(shù)列的條件和求和概念，即可得到；
（Ⅱ）可先證明必要性：由遞增數(shù)列的定義，得到A_n是首項(xiàng)為13，公差為1的等差數(shù)列．從而有a₂₀₀₀=
2012；再證充分性：由新定義推出a₂₀₀₀≤a₁+1999，又因?yàn)閍₁=13，a₂₀₀₀=2012，所以a₂₀₀₀=a₁+1999．得證．

解答： （Ⅰ）解：0，1，2，1，0，1，2，1，0是一具滿(mǎn)足條件的E數(shù)列A₉．
（答案不唯一，0，1，0，1，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿(mǎn)足條件的E的數(shù)列A₉）
（Ⅱ）證明：必要性：因?yàn)镋數(shù)列A₂₀₀₀是遞增數(shù)列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999）．            
所以A₂₀₀₀是首項(xiàng)為13，公差為1的等差數(shù)列．
所以a₂₀₀₀=13+（2000-1）×1=2012．
充分性：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1
…
a₂-a₁≤1                                
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因?yàn)閍₁=13，a₂₀₀₀=2012，
所以a₂₀₀₀=a₁+1999．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，1999）即A_n是遞增數(shù)列．
綜上，結(jié)論得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及理解，考查數(shù)列的運(yùn)用，充分必要條件的證明，解題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的正確運(yùn)用，屬于中檔題．