若數(shù)列{an}中任意連續(xù)三項(xiàng)和都為正數(shù)，任意連續(xù)四項(xiàng)和都為負(fù)數(shù)，則項(xiàng)數(shù)n的最大值為
5
5
．
分析：由題意知a1+a2+a3＞0，a1+a2+a3+a4＜0得出a4＜0，同理a5＜0，下面用反證法證明這個(gè)數(shù)列最多只能有5項(xiàng)，從而得出原結(jié)論成立．
解答：解：由a1+a2+a3＞0，a1+a2+a3+a4＜0⇒a4＜0，
同理由a2+a3+a4＞0，a2+a3+a4+a5＜0⇒a5＜0
所以這個(gè)數(shù)列最多只能有5項(xiàng)，否則由a3+a4+a5＞0，a3+a4+a5+a6＜0⇒a6＜0，則得a4+a5+a6＜0與題設(shè)矛盾．
則項(xiàng)數(shù)n的最大值為 5．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)：解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：
（1）假設(shè)結(jié)論不成立；
（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；
（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

12、設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，且q＞0，q≠1．
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥-1，求證：數(shù)列{an}中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{an}中的項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{an}中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，求證：存在整數(shù)m，且m≥-1，使得a1=qm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）設(shè)數(shù)列{an}，對(duì)任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常數(shù)）．
（1）當(dāng)k=0，b=3，p=-4時(shí)，求a1+a2+a3+…+an；
（2）當(dāng)k=1，b=0，p=0時(shí)，若a3=3，a9=15，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{an}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱(chēng)該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．當(dāng)k=1，b=0，p=0時(shí)，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2-a1=2，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{an}，使得對(duì)任意n∈N*，都有Sn≠0，且
1
12
＜
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
11
18
．若存在，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1的所有取值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差d∈N*，且a1=16，若數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則d的所有可能取值的和為
31
31
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}（n=1，2，…）是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{an}中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱(chēng)該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．
（Ⅰ）若a1=4，d=2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列an=2n-7(n∈N*)是否是“封閉數(shù)列”，為什么？
（Ⅲ）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若公差d=1，a1＞0，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使
137
150
＜
1
S1
+
1
S2
+…+
1
S2011
＜
11
9
．若存在，求{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

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